Estudos sobre as propriedades da matrizes e multiplicação das mesmas

Matrizes, não tão óbvio quanto parece

Olá amiguinhos, hoje vou escrever não sobre psicologia, para minha enorme felicidade por conseguir variar o tema, mas sim sobre matemática. Mas antes de começar, gostaria de contar as novidades. A primeira novidade é sobre o livro, ele está sendo reeditado e está tomando um formato muito melhor, embora eu ainda não esteja seguro se ele está em sua melhor forma, e provavelmente não está, mas melhorou muito e aumenta as chances de alguma editora me aceitar. Além disso, to pondo imagens no livro, o que é de alguma forma engraçado, mas é difícil encontrar lugar para botar imagens nele. Tirando isso, minha vida está meio normal, tirando que eu estou começando a jogar Starcraft pra treinar o minha habilidade em jogos e morrendo de medo de me viciar. Além disso, os sentimentos de paixão querem me invadir com o mesmo caso de anos atrás, mas de qualquer forma eu não quero deixar, mas é bom, meus caros amigos. Agora vamos a uma mini introdução do tema de hoje. Tive aula de matemática e o professor explicou multiplicação de matrizes. Eu e meu amigo ficamos tirando onda por pensarmos que seria uma coisa obvia, mas para a minha enorme surpresa, não é. Multiplicação de matrizes é o que será explicado hoje.

Para começar, precisamos entender qual é a natureza das matrizes. O que são, afinal, matrizes? Desde que eu mexo com programação, eu fico curioso pra saber sobre o porquê deste nome, descobri que ele veio do latim “Matrice”, e que seu significado está relacionado com algo que dá origem ou a qual depende outras informações, cópias, apropriações ou estabelecimentos. Na matemática, a matriz é uma lei informação que os elementos dependem para serem ordenados, acredito. Para saber como funciona a multiplicação de matrizes, eu teria que entender primeiramente, as propriedades básicas da matriz, e embora eu pensasse que sabia, minhas previsões estavam erradas ao eu ver o primeiro exemplo de uma multiplicação de matrizes, o que confundiu totalmente minha cabeça e me levou a pensar. Vou dar um exemplo aqui sobre o que eu pensei: Elemento Xij multiplicado pelo elemento Yij, onde a multiplicação ocorrente é X.Y. Por exemplo, matriz A, elemento 5 que fica em A11 multiplicado por elemento da matriz B que fica em b11, 3, será 3.5 que é 15. E isto se demonstra falso. Agora, meus amigos, a pergunta é: porque danado isto não ocorre desta maneira? A maneira a qual ocorre é bem diferente disto, onde uma coluna da matriz multiplica a linha da outra matriz, e a soma dessa multiplicação é o resultado. Mas pêra ae, pensei eu, “Soma em multiplicação? Agr, como pode?” Foi então que eu comecei as minhas investigações.

Definitivamente, o que é matriz? Me perguntei. Notei então que não poderia ser uma coisa simplesmente alheia, pois se o fosse, não teria significado organizá-la e ter todo o cuidado de manter seus elementos em ordem sempre. Notei também que uma matriz poderia ter um conjunto de informação a qual a formasse, ou seja, uma fórmula com duas variáveis, onde uma variável se baseia na linha e outra na coluna, e desta forma cada elemento da matriz deve estar naquele local, se não fica incompatível com a fórmula, que é o conjunto de informações. Esta informação me fez pensar que as propriedades da matriz profundas de uma forma que eu não havia imaginado, portanto, me puis a pensar. Tendo o exemplo em mãos sobre como funciona a multiplicação da matriz, tal exemplo dado por meu professor Belo, pude então fazer testes comparativos em busca de algum conhecimento, relação ou observação nova. Nada me foi dado. Parti então para um ato desesperado, que fui ver o funcionamento da matriz desde o princípio. Montei então uma matriz fictícia apenas com variáveis, onde estas variáveis se multiplicavam para formar o conjunto de informação da matriz. Foi então que veio a surpresa, a multiplicação da matriz ocorria de uma forma diferente, onde os elementos da coluna apenas se multiplicavam com os elementos da linha. Identifiquei então que isto era uma propriedade nova e, portanto, comecei minhas pesquisas por ai. Fiz outra matriz de mesmo formato com novas variáveis para continuar minha investigação, e felizmente, consegui alguns progressos. A baixo, a imagem de como isto tudo ocorreu: (OBS: Uma letra ao lado da outra significa que uma variavel está multiplicando a outra, assim como quando uma letra estiver abaixo da outra no mesmo campo da matriz, e para ampliar a imagem, clique nela)

Explicando a imagem: Notem que existem duas matrizes, cada uma com quatro elemento que multiplicam-se entre si, mas a coluna não multiplica a coluna e a linha não multiplica a linha, originando quatro informações. Como são duas matrizes, são oito informações multiplicando-se entre si, entretanto, a coluna não multiplica a coluna, e a linha não multiplica a linha. Lembrando que quando fazemos uma matrizes de 2x2, significa que são duas informações de linha e duas informações de coluna, desta forma, quando houver a multiplicação de duas matrizes 2x2, o resultado da multiplicação será uma matriz 2x2, e isto acontece pois, a principio, não existe motivos para a matriz mudar de formato, além disso, se ela mudar de formato, perde sua característica de informação, que é ter duas linhas e duas colunas, e isto não parece ser interessante. Além do mais, se a multiplicação de matrizes fosse feita de outra forma, não teria coerência racional, acredito, de determinar quem seria a linha ou quem seria a coluna da nova matriz diferente de 2x2, por isso, continuei minhas hipóteses sem me preocupar em mudar o formato da matriz. Continuando, ao multiplicar duas matrizes 2x2, o que na verdade acontece é que pegamos a coluna da primeira matriz e multiplicamos com a linha da segunda matriz, isto porque não podemos misturar coluna com coluna nem linha com linha. Porém, como são dois elementos por coluna e dois elementos por linha, e existem duas linhas e duas colunas em cada exemplo, e a nova matriz formada só terá dois elementos de cada matriz, e cada matriz tem quatro elementos, na verdade, ao multiplicar duas matrizes de 2x2, se forma duas matrizes de 2x2 como produto, como vocês puderam notar na imagem. Ao se formar estes duas novas matrizes, elas se somam, pois a intenção da multiplicação é juntar os números de forma coerente.

Notem também algumas coisas, primeira que não faz muito sentido lógico repetir um elemento de uma matriz-produto em outra matriz produto, pois como aquele elemento já foi usado, ele fica separado. A segunda é que não existe propriedade distributiva em multiplicação de matrizes devido ao fator que, segundo a lei das formações de matrizes, o primeiro número é sempre a coluna, e o segundo número é sempre a linha (ou vice-versa, não lembro), desta forma, em AxB, a matriz A que multiplica será a coluna, porque é a primeira, e B será a linha, da mesma forma que 2x3 é diferente de 3x2 em seu formato. Terceiro é que, a técnica ensinada na escola é uma versão prática e técnica de se fazer todo o processo percorrido aqui por mim, portanto não pode ser ignorada, mas notem que todas as leis de lá podem ser explicadas neste exemplo, como por exemplo, as duas coisas citadas a cima, e também o porque que ao multiplicar-se uma matriz AxB por YxZ, B tem que ser = Y, e o resultado desta matriz será AxZ. Isto acontece porque a coluna da matriz resultante será A, e a linha resultante da multiplicação será Z, e B e Y serão a quantidade de matrizes-produto que se originará, ou se utilizar a técnica mais rápido e fácil aprendida na escola, a quantidade de somas que serão efetuadas. As matrizes também devem ser compatíveis para que não haja multiplicações nulas, vazias, inexistentes, o que não seria zero, seria vazio mesmo, impossível, algo que se aproxime, mas não muito, eu acho, de dividir por zero, e isto não pode acontecer, embora eu ainda não saiba exatamente o porquê, mas seguindo o principio que se deve somar apenas matrizes iguais, este principio também deve se estender a multiplicação. Este processo é pode ser comparado ao processo quando se faz produto notável, a diferença é que os produtos notáveis se podem se somar se soubermos os valores, enquanto colunas com colunas e linhas com linhas não se somam nunca, nem se interagem.

Notem que os conhecimentos e técnicas que eu utilizei misturam bastante os conhecimentos abstratos que eu possuo sobre matemática, assim como os conhecimentos de investigação técnica. Uma coisa interessante que eu notei que é que os conhecimentos de investigação técnica se baseiam muito nos princípios geográficos explicados por meu professor de geografia, Felipe, que são extensão, analogia, causalidade, conexidade e atividade, além de outros processos técnicos, como mudar fatores ou utilizar valores mínimos para se testar as teorias (eu utilizei algo como 1, 2, 3 pra conferir, isso dá certo quase sempre). Além disso, utilizei o módulo de simulação para fazer simulações de comparações entre as formas de multiplicação possíveis, o que acelerou meu processo de descoberta. Pelo o que eu lembre, eu puis estes processos de investigação no meu livro, mas provavelmente vou dar ênfase a eles, principalmente ao processo geográfico que me pareceu muito interessante para investigar um conjunto de grandezas de fatores. No mais, um abraço para todos e até a próxima postagem.